Seconda puntata

Le geodetiche

La RR prende pari pari dalla meccanica newtoniana il principio d'inerzia: in un riferimento inerziale un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme. Come si descrive questo moto rettilineo uniforme nello spazio-tempo? Anch'esso è descritto da una curva oraria, che è la più semplice possibile: una retta. Perciò il principio d'inerzia si può anche enunciare dicendo che un corpo non soggetto a forze ha una linea oraria rettilinea.
Di più: dal principio d'inerzia segue anche un modo per riconoscere che lo spazio-tempo è piatto. Consideriamo non uno, ma due corpi, e lasciamoli liberi con la stessa velocità iniziale (anche nulla, se si vuole). Poiché entrambi conservano la velocità iniziale, la loro distanza non cambia nel tempo: quindi le loro linee orarie sono parallele, come lo erano le velocità iniziali.
Questo è il tratto distintivo di uno spazio-tempo piatto: in esso esistono rette parallele (in numero infinito: da ogni punto si può tracciare la parallela a un'altra retta data).

È naturale chiedersi se il principio d'inerzia valga anche in RG. La risposta è sì, con due precisazioni importanti.
a) Se lo spazio è curvo, non ci sono più rette parallele. Non è quindi giusto continuare a chiamare "retta" la linea oraria di un corpo non soggetto a forze: infatti la si chiama geodetica. Le geodetiche sono la generalizzazione, in uno spazio-tempo curvo, delle rette di uno spazio-tempo piatto. Resta però vero il principio d'inerzia, nella forma di principio della geodetica: la linea oraria di un corpo non soggetto a forze è una geodetica dello spazio-tempo.
b) Se le geodetiche di due corpi non sono parallele, vuol dire che la distanza cambia nel corso del tempo: come si concilia questo col fatto che non agiscono forze? che cosa allora fa cambiare la distanza? Qui sta l'innovazione, o se si preferisce la scoperta di Einstein: in RG quando si parla di forze si esclude la forza di gravità.

Occorre dire due parole sul perché di questo cambiamento di prospettiva, su questa geometrizzazione della gravità. La cosa che colpì Einstein era nota da tre secoli: come aveva mostrato Galileo, tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione. Questo fatto era stato poi confermato come universale (nel senso che la forza di gravità è rigorosamente proporzionale alla massa, e quindi l'accelerazione in un campo gravitazionale non dipende dal corpo). Einstein si disse: ma se il moto in campo gravitazionale non dipende affatto dal particolare corpo, non sarà che questo moto sia solo una proprietà geometrica dello spazio-tempo? Così nacque il principio della geodetica: dato che tutti i corpi seguono le stesse geodetiche, la scoperta di Galileo ne segue necessariamente. Semplice, ma ci voleva Einstein per arrivarci...
Negli anni a venire questa indipendenza sarebbe stata confermata con sempre maggior precisione, ed è oggi una delle leggi fisiche più accurate di cui disponiamo: intorno a 12 cifre significative!

Però questo non sembra spiegare l'avvicinamento o l'allontanamento delle geodetiche, anzi! Se infatti i due corpi cadono con la stessa accelerazione, resteranno ancora alla stessa distanza...
Il fatto è che ciò sarebbe vero in un campo gravitazionale esattamente uniforme, ma nessun campo è così. Per esempio, il campo della Terra si attenua con la distanza; quindi se lascio cadere due corpi da altezze diverse, quello più in basso avrà accelerazione maggiore, e distanzierà l'altro. Se invece li faccio cadere dalla stessa altezza, debbo tener conto delle diverse direzioni del campo, che è diretto sempre verso il centro della Terra: in questo caso i due corpi si avvicinano.
Se ci si mette in un riferimento in caduta libera (il famoso "ascensore di Einstein", o un satellite in orbita) a prima vista i corpi cadono insieme con l'ascensore, quindi restano fermi, come chiede il principio d'inerzia; ma se si tiene conto della minuta variazione del campo gravitazionale questo non è più vero: un corpo posto più in alto si muove verso il soffitto, uno posto in basso va verso il pavimento. Nel riferimento in caduta libera, in prima approssimazione la gravità è cancellata, ma restano le piccole differenze, gli "effetti differenziali", come si dice.
Mostrerò più avanti che l'andamento delle geodetiche è proprio un modo per misurare la curvatura; quindi possiamo dire che in RG la gravità è sostituita dalla curvatura dello spazio-tempo.

La luce

Sta di fatto che anche in RG la luce viaggia sempre a velocità c e percorre geodetiche nulle. E la deflessione gravitazionale? chiederà qualcuno. Bisogna ricordare che stiamo parlando di spazio-tempo e di curve (geodetiche) nello spazio-tempo. Per vedere la deflessione bisogna mettersi nello spazio (in un qualche spazio, scelto come abbiamo detto all'inizio).
Ogni curva dello spazio-tempo, geodetica o no, può essere proiettata nelle sezioni tridimensionali che abbiamo chiamato "spazio": basta pensare, per analogia, che una curva nel comune spazio tridimensionale può essere proiettata su un piano. Quando noi eseguiamo misure geometriche, per esempio sulla deflessione della luce, è su questa proiezione che lavoriamo. E non c'è niente di strano se la proiezione di una geodetica di uno spazio-tempo curvo, appare curva se guardata nello spazio tridimensionale.
Tanto è vero, che anche il moto di un pianeta si spiega così: anche il pianeta ha come curva oraria una geodetica dello spazio-tempo, incurvato dalla presenza del Sole. Quando guardiamo questa geodetica proiettata nello spazio, vediamo un'ellisse, come ci ha insegnato Keplero. (A rigore non proprio, perché una conseguenza della RG è che la proiezione è quasi un'ellisse, ma non proprio: è la famosa "precessione del perielio", di cui ora non possiamo parlare...)

Riassumiamo: spazio e tempo sono unificati nello spazio-tempo, che può essere piatto o curvo. È piatto in assenza di materia (RR), è curvo a causa della materia (RG, ma di questo parleremo meglio nella prossima puntata). Il principio d'inerzia diventa in RG il principio della geodetica; in uno spazio-tempo curvo le geodetiche non sono parallele. La forza di gravità è eliminata, o meglio sostituita dalla curvatura dello spazio-tempo, che fa sì che due geodetiche non possano essere esattamente parallele. La luce ha sempre come curva oraria una geodetica nulla, lungo la quale il tempo non passa.

È però passato lo spazio che ho assegnato a questa puntata, per cui ... alla prossima.