Avvertenza: Questa sarà probabilmente la puntata più
difficile (ma anche la più breve).
Chi vuole, potrà saltarla e troverà un riassunto dei risultati
essenziali all'inizio della successiva.
Introdurre le interazioni tra
elettroni/positroni e fotoni vuol dire tre cose:
a) | usare per i fotoni non già le equazioni di Maxwell nel vuoto, ma quelle in presenza di cariche e correnti: queste erano note da tempo, dunque non sembra esserci problema |
b) | modificare l'equazione di Dirac inserendoci l'effetto del campo e.m.: anche questo era già stato fatto, dallo stesso Dirac |
c) | impiegare queste equazioni modificate per procedere alla seconda quantizzazione di cui si è già parlato. |
Il grande vantaggio di vedere le equazioni
come originate da un principio variazionale è che tutta la teoria si
riduce a dare la giusta espressione di una sola grandezza, funzione di tutti i
campi che entrano in ballo e definita in ogni punto dello spazio-tempo
(ricordate che la teoria è relativistica).
Questa funzione si chiama "densità
lagrangiana" o brevemente "lagrangiana" della teoria.
Accenno di volo che qualunque teoria di campo
odierna, anche l'unificazione elettrodebole di Glashow-Weinberg-Salam, oppure
QCD, è caratterizzata da un'opportuna lagrangiana. L'osservazione mi
serve per giustificare, almeno in parte, un'asserzione che ho fatto in qualche
post del NG: che tutte le teorie di campo sono costruite (e non solo per
questo) sullo stampo della QED.
Tornando appunto a QED, la sua lagrangiana
consiste di tre parti:
|
In parole molto povere, una densità
lagrangiana è più o meno una densità di energia (lo so,
gli esperti potrebbero fare un sacco di obiezioni, a cominciare dal fatto che
la lagrangiana è scalare e la densità di energia è la
componente 00 di un tensore; ma gli esperti sanno anche in che senso
ciò che ho scritto è giustificato).
Domanda: sapreste scrivermi la densità di
energia per l'interazione fra un campo e.m. e delle cariche?
In un caso semplice lo sapete fare di certo:
quello del campo elettrostatico. Si sa che l'energia in questione è
semplicemente il prodotto della densità di carica per il
potenziale.
Se volete l'espressione esatta e generale, non
avete che da sostituire alla densità di carica la quadricorrente (di
cui la densità di carica è una componente) e al potenziale
elettrostatico il quadripotenziale (potenziale scalare più potenziale
vettore) ed è fatta.
Ma a me l'espressione del caso elettrostatico
è sufficiente, perché contiene gli elementi essenziali che mi
servono: contiene il potenziale (che appare in luogo del campo) e contiene la
densità di carica.
Ora sul potenziale non ci sono problemi, ma la
densità di carica che cosa è? (Ricordate che vogliamo far
apparire nella lagrangiana il campo di Dirac!)
Semplicissimo: come si calcola in meccanica
quantistica una densità di carica di una particella? Basta calcolare la
densità di probabilità e moltiplicarla per la carica.
La densità di probabilità, come
tutti sanno, è il quadrato del modulo della funzione d'onda: dunque si
otterrà dal campo di Dirac moltiplicato per il suo complesso coniugato.
Mettendo tutto insieme, la lagrangiana
d'interazione consiste in un prodotto di quattro fattori:
|
(Fine della quinta puntata)