Quinta puntata

Avvertenza: Questa sarà probabilmente la puntata più difficile (ma anche la più breve).
Chi vuole, potrà saltarla e troverà un riassunto dei risultati essenziali all'inizio della successiva.

Introdurre le interazioni tra elettroni/positroni e fotoni vuol dire tre cose:

a)	usare per i fotoni non già le equazioni di Maxwell nel vuoto, ma quelle in presenza di cariche e correnti: queste erano note da tempo, dunque non sembra esserci problema
b)	modificare l'equazione di Dirac inserendoci l'effetto del campo e.m.: anche questo era già stato fatto, dallo stesso Dirac
c)	impiegare queste equazioni modificate per procedere alla seconda quantizzazione di cui si è già parlato.

Accenno brevemente (non so se sarà opportuno tornarci sopra più avanti) che esiste un gioco assai elegante, e prezioso per lo sviluppo di tutta la teoria, che permette di fare il tutto in un colpo solo: basta scrivere un "principio variazionale".
È roba che si mangia? direte voi...
A dire il vero, chi ha studiato un po' di meccanica analitica avrà incontrato un classico principio variazionale: quello di Hamilton. Qui si sta solo generalizzando l'idea da un sistema meccanico (a un numero finito di gradi di libertà) a un campo, o a più campi. Questo comporta una serie di differenze e di complicazioni, che però sono risolvibili, o almeno sembra...
Sta di fatto che da un solo principio variazionale è possibile ricavare tanto le equazioni del campo e.m. in interazione con cariche e correnti, quanto quelle del campo di Dirac in presenza di campo e.m.
C'è un problemino (si fa per dire...): le nuove equazioni non sono più lineari. Ci tornerò nella puntata che segue.

Il grande vantaggio di vedere le equazioni come originate da un principio variazionale è che tutta la teoria si riduce a dare la giusta espressione di una sola grandezza, funzione di tutti i campi che entrano in ballo e definita in ogni punto dello spazio-tempo (ricordate che la teoria è relativistica).
Questa funzione si chiama "densità lagrangiana" o brevemente "lagrangiana" della teoria.
Accenno di volo che qualunque teoria di campo odierna, anche l'unificazione elettrodebole di Glashow-Weinberg-Salam, oppure QCD, è caratterizzata da un'opportuna lagrangiana. L'osservazione mi serve per giustificare, almeno in parte, un'asserzione che ho fatto in qualche post del NG: che tutte le teorie di campo sono costruite (e non solo per questo) sullo stampo della QED.

Tornando appunto a QED, la sua lagrangiana consiste di tre parti:

a) la lagrangiana del campo e.m. libero b) " " " di Dirac libero c) " " d'interazione

Voglio dire qualcosa su quest'ultima, che è la più semplice come aspetto, ma soprattutto è la vera protagonista del dramma che sta per cominciare.

In parole molto povere, una densità lagrangiana è più o meno una densità di energia (lo so, gli esperti potrebbero fare un sacco di obiezioni, a cominciare dal fatto che la lagrangiana è scalare e la densità di energia è la componente 00 di un tensore; ma gli esperti sanno anche in che senso ciò che ho scritto è giustificato).
Domanda: sapreste scrivermi la densità di energia per l'interazione fra un campo e.m. e delle cariche?
In un caso semplice lo sapete fare di certo: quello del campo elettrostatico. Si sa che l'energia in questione è semplicemente il prodotto della densità di carica per il potenziale.
Se volete l'espressione esatta e generale, non avete che da sostituire alla densità di carica la quadricorrente (di cui la densità di carica è una componente) e al potenziale elettrostatico il quadripotenziale (potenziale scalare più potenziale vettore) ed è fatta.

Ma a me l'espressione del caso elettrostatico è sufficiente, perché contiene gli elementi essenziali che mi servono: contiene il potenziale (che appare in luogo del campo) e contiene la densità di carica.
Ora sul potenziale non ci sono problemi, ma la densità di carica che cosa è? (Ricordate che vogliamo far apparire nella lagrangiana il campo di Dirac!)
Semplicissimo: come si calcola in meccanica quantistica una densità di carica di una particella? Basta calcolare la densità di probabilità e moltiplicarla per la carica.
La densità di probabilità, come tutti sanno, è il quadrato del modulo della funzione d'onda: dunque si otterrà dal campo di Dirac moltiplicato per il suo complesso coniugato.

Mettendo tutto insieme, la lagrangiana d'interazione consiste in un prodotto di quattro fattori:

1) una costante: la carica dell'elettrone 2) il potenziale (quadripotenziale) 3) il campo di Dirac 4) il suo coniugato.

In simboli: eAψψ-barrato. (A rigore mi sono perso un po' di matrici gamma, ma figuriamoci...)

(Fine della quinta puntata)