Terza puntata

Chi non è convinto, probabilmente pensa che io abbia scansato l'ostacolo, evitando di esaminare la situazione come verrebbe vista dall'astronave B. E penserà che a questo scopo sia indispensabile la RG.
Farò quindi vedere ora come si tratta il problema nel riferimento B, senza scomodare la RG. Purtroppo ciò non si può fare in modo elementare, come ho già detto: bisogna sapere di relatività, non spaventarsi davanti a qualche differenziale e integrale, ecc. Niente di stratosferico, ma insomma, non sono semplici discorsi, come ne ho fatti fin qui.
Siano dunque (x,t) le coordinate nel riferimento A (trascuro le altre due coordinate spaziali): allora ds² = dt² - dx² (c=1, per alleggerire le formule). Sia x(t) la legge oraria del gemello B, τ il suo tempo proprio; introduco la funzione h(τ) definita da
dx/dτ = sinhh,
dt/dτ = coshh
(notare che coshh non è che il solito γ; h è la rapidità).
Voglio definire prima di tutto un riferimento rigido che si muove insieme a B. Siano u, v le coordinate spaziale e temporale nel riferimento cercato. Dico che la trasformazione è:
x = \int_0^v sinh h(v') dv' + u cosh h(v)(1)
t = \int_0^v cosh h(v') dv' + u sinh h(v).(2)
Infatti per u=0 si ha
dx = sinh h(v) dv
dt = cosh h(v) dv
e da queste si vede che il punto u=0 si muove proprio come B, e il suo tempo proprio è τ = v.
(Per chi non conosce TeX: \int_a^b significa "integrale da a a b")

Per la metrica nelle coordinate u, v:
ds² = [1 + uh'(v)]² dv² - du².
Questa mostra che eventi con la stessa v hanno separazione spaziale du, ossia u è proprio la distanza misurata nel riferimento accelerato.

Se accanto al punto B, con la legge oraria detta, consideriamo un punto B', con legge oraria data dalle (1), (2) per u fissato diverso da 0, vediamo che dx/dt è lo stesso per B e per B' a parità di v. Quindi nel riferimento inerziale in cui B è momentaneamente fermo (riferimento tangente a B) lo è anche B', e in questo riferimento la distanza BB' è appunto u. Ciò dimostra che le (1) definiscono il riferimento rigido accelerato, come richiesto.

Nota: Sempre dalle (1), (2) si vede che la legge oraria di B' è diversa da quella di B, ossia la loro distanza, misurata nel riferimento inerziale, varia. Visto da A, il riferimento accelerato non appare rigido, il che è ovvio, dato che esiste la contrazione di Lorentz.

Ora vediamo che tempo misura B. Ho già detto che τ = v. Se x(0) = 0 e poi x(T) = 0, ossia se B lascia A al tempo t=0 e lo ritrova al tempo t=T, abbiamo dalla (2), per u=0:
T = \int_0^τ cosh h(τ') dτ' > τ.
Dunque non c'è simmetria: l'orologio di A segna un tempo più lungo! Più quantitativamente, supponiamo che il moto di B sia uniforme salvo dei brevi tratti che trascuro nell'integrale: allora
T = \int_0^τ γ dτ' = γ τ
come si doveva dimostrare.

Commento: Dove ho usato la RG? Non ho mai parlato né di principio di equivalenza, né di campo gravitazionale, né tanto meno di spazio-tempo curvo, visto che lo spazio-tempo piatto era e piatto rimane, in qualunque sistema di coordinate. Ho solo introdotto un nuovo sistema di coordinate, che ho interpretato come quello associato al riferimento rigido solidale a B.
C.V.D.